多层膜光学求解器（STACK）

SimWorks Stack Solver（STACK）适用于由多个平行、均匀介质层组成的薄膜结构。电磁波在各层中传播，并在不同介质的界面处发生反射和透射，形成多次反射与干涉。根据各层材料的折射率、厚度以及界面处的电磁场连续条件，STACK 无需对整个结构进行空间网格离散，即可分析外部平面波入射的光学响应，以及结构内部偶极子的发光特性。

（1）反射与透射（stackrt）

对于外部平面波入射，多层膜的反射率和透射率受到各层折射率、厚度及入射角的共同影响，如图 1 所示。

图中的 $z$ 轴表示界面法线方向，$\theta_0$ 为入射角，$R$ 和 $T$ 分别表示反射率与透射率。$n_0$、$n_s$ 分别为入射和出射介质的折射率，$n_j$、$d_j$ 分别为第 $j$ 层薄膜的折射率和厚度。对于无损各向同性介质，相邻层满足 $n_j\sin\theta_j=n_{j+1}\sin\theta_{j+1}$。

STACK 采用传输矩阵法（Transfer Matrix Method，TMM）描述膜层内的传播与干涉。以各向同性、无损的非磁性薄膜为例，第 $j$ 层的传播相位为：

$$\delta_j=\frac{2\pi}{\lambda}n_jd_j\cos\theta_j$$

其中，$\lambda$ 为真空波长，$\theta_j$ 为第 $j$ 层的传播角。膜层中正向与反向传播波分别积累 $e^{\pm i\delta_j}$ 的相位变化。结合界面处切向电、磁场的连续条件，第 $j$ 层的特征矩阵可写为：

$$M_j=\begin{pmatrix} \cos\delta_j & -\dfrac{i\sin\delta_j}{Y_j}\\[6pt] -iY_j\sin\delta_j & \cos\delta_j \end{pmatrix}$$

其中，$i$ 为虚数单位，$Y_j$ 为光学导纳。对于 s、p 偏振，其表达式分别为：

$$Y_j^{(s)}=\frac{n_j\cos\theta_j}{Z_0},\qquad Y_j^{(p)}=\frac{n_j}{Z_0\cos\theta_j}$$

其中，$Z_0$ 为真空波阻抗。矩阵中的相位项描述层内传播，光学导纳反映不同偏振下切向电、磁场的关系。
对于 $N$ 个有限厚度膜层，各层特征矩阵按膜层顺序相乘，得到总特征矩阵：

$$M_{\mathrm{stack}}=M_1M_2\cdots M_N$$

总特征矩阵将多层膜入射侧与出射侧的切向电、磁场联系起来。入射侧的场由入射波和反射波叠加而成，出射侧在没有反向入射波时只有透射波。结合两侧介质的光学导纳和边界条件，可求得反射与透射的复振幅系数 $r$、$t$。

反射率和透射率表示功率之比，而非振幅之比。通过电、磁场的坡印廷矢量，可以计算沿界面法线方向的时间平均功率通量，并由振幅系数得到反射率和透射率。对于各向同性材料且入射和出射介质无损的情况，给定 s 或 p 偏振，有：

$$R=\frac{P_{\mathrm{ref}}}{P_{\mathrm{inc}}},\qquad T=\frac{P_{\mathrm{trans}}}{P_{\mathrm{inc}}}$$

其中，$P_{\mathrm{inc}}$、$P_{\mathrm{ref}}$ 和 $P_{\mathrm{trans}}$ 分别为入射、反射和透射光沿界面法线方向的功率通量大小。对于各向异性材料，需要考虑不同传播模式的能流特性，采用相应的功率归一化关系。

（2）内部电磁场（stackfield）

反射率和透射率反映整个薄膜结构的光学响应，而内部电磁场分布还取决于各膜层中正向与反向传播波的叠加。对于各向同性、无损介质构成的有限厚度薄膜层，首先根据材料折射率及入射角确定第 $j$ 层的法向波矢：

$$k_{z,j}=k_0n_j\cos\theta_j =\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{n_j^2-n_0^2\sin^2\theta_0}, \qquad k_0=\frac{2\pi}{\lambda}$$

利用前述传输矩阵法求得结构整体的反射与透射振幅后，可通过各层特征矩阵计算膜层界面处的切向电场和磁场。以第 $j$ 层的入射侧界面为参考，有：

$$\begin{pmatrix} E_{t,j}\\ H_{t,j} \end{pmatrix} = M_jM_{j+1}\cdots M_N \begin{pmatrix} tE_{\mathrm{inc}}\\ Y_stE_{\mathrm{inc}} \end{pmatrix}$$

其中，$E_{t,j}$ 和 $H_{t,j}$ 分别为该界面处的切向电场和磁场；$E_{\mathrm{inc}}$ 为入射波的切向电场复振幅，$t$ 为按切向电场定义的整体透射振幅系数，因此 $tE_{\mathrm{inc}}$ 表示出射侧的切向电场；$Y_s$ 为出射介质的光学导纳。对 p 偏振，此处的 $t$ 与按总电场振幅定义的透射系数不同。

根据界面处切向电、磁场的叠加关系，可求得正向与反向传播波的复振幅：

$$E_j^+=\frac12\left(E_{t,j}+\frac{H_{t,j}}{Y_j}\right), \qquad E_j^-=\frac12\left(E_{t,j}-\frac{H_{t,j}}{Y_j}\right)$$

其中，$E_j^+$ 和 $E_j^-$ 分别为第 $j$ 层中正向和反向传播波的复振幅，$Y_j$ 为该层对应偏振的光学导纳。

结合正、反向传播波的复振幅及层内相位变化，可得到第 $j$ 层内局部坐标 $z$ 处的切向复电场（$z$ 从该层入射侧界面朝出射侧增大）：

$$E_j(z)=E_j^+e^{ik_{z,j}z}+E_j^-e^{-ik_{z,j}z}$$

对于吸收介质或各向异性介质，需根据材料参数与偏振状态确定相应的法向波矢和场关系。由此可计算薄膜内部的电磁场分布，用于分析薄膜干涉及局部场增强。

（3）Purcell 因子（stackpurcell）

前两部分讨论的是从外部入射的光。在 OLED 等发光器件中，光源也可以位于多层膜内部，例如嵌入某一介质层的电偶极子。偶极子向不同方向发出的电磁波会在周围界面反射和透射；返回偶极子附近的电磁场会影响其释放的总功率，向外传播的光则形成具有方向性的辐射。图 2 从同一个物理场景展示了这两种作用。

图 2 中，不同颜色表示构成结构的薄膜层，橙色圆点表示嵌入其中某个宿主层的电偶极子，而非额外增加的一层。橙色箭头和上方的角度分布示意向外发射的光，蓝色虚线表示多层界面形成的反射反馈。$z$ 轴竖直向上，$\theta$ 为上方远场方向相对于表面法线的夹角，$G(\theta)$ 表示角度相关的发光分布。宿主层折射率记为 $n_h$，上下外侧介质的折射率分别记为 $n_0$、$n_s$；这些符号用于正文和公式，并未逐一标在图上。界面多次反射形成的综合反馈会影响偶极子释放的总功率，向外传播的场则决定远场方向性。图中箭头为定性示意，不表示精确的逐层折射角。

对于位于无损宿主层内的偶极子，Purcell 因子定义为其在多层结构中释放的总功率与无限均匀参考介质中对应功率之比：

$$F_{\mathrm P}(\lambda)= \frac{P_{\mathrm{stack}}(\lambda)}{P_{\mathrm{hom}}(\lambda)}$$

其中，$F_{\mathrm P}$ 为 Purcell 因子，$P_{\mathrm{stack}}$ 为偶极子在多层结构中向电磁场释放的总功率，$P_{\mathrm{hom}}$ 为相同偶极子在与其所在层材料相同的无限均匀介质中的参考功率，$\lambda$ 为发射波长。当 $F_{\mathrm P}>1$ 时，总功率相对于参考环境增强；当 $F_{\mathrm P}<1$ 时，则受到抑制。

Purcell 因子表征的是总功率变化，而不是直接表征器件向外提取的远场光功率；在存在材料吸收时，部分能量还可能以非辐射形式耗散。除总功率变化外，相关计算还可分析向上、向下及进入空气方向的远场角度功率密度。

（4）偶极子发光（stackdipole）

对于多层发光器件，除了偶极子的总功率变化，还需结合发射光谱分析其角度发光特性。STACK 综合考虑偶极子的位置、取向、发射光谱和发光效率参数，对远场角度功率密度进行光谱加权。

对于具有连续发射光谱的多个偶极子，角度相关的光谱加权发光结果可表示为：

$$G(\theta)=\sum_m \int_{\lambda_{\min}}^{\lambda_{\max}} \frac{ef_m\,st_m\,rd_m\,p_m(\lambda)\,E_\gamma(\lambda)\, f_{\mathrm{rad},m}(\theta,\lambda)} {rd_m F_{\mathrm P,m}(\lambda)+(1-rd_m)}\,d\lambda$$

其中，$G(\theta)$ 为选定出射方向、出射角 $\theta$ 下的光谱加权角度发光结果；$\theta$ 是该侧最外层介质中的出射角，按该侧向外法线测量，并不默认表示折射到空气后的角度；$m$ 为偶极子编号；$\lambda_{\min}$、$\lambda_{\max}$ 为发射光谱的波长范围；$ef_m$、$st_m$、$rd_m$ 分别为激子形成比例、单重态激子比例和相对辐射衰减比例；$f_{\mathrm{rad},m}(\theta,\lambda)$ 为相对于该偶极子在无限均匀宿主介质中的参考总功率归一化的远场角度功率密度（每单位立体角）；$F_{\mathrm P,m}(\lambda)$ 为对应的 Purcell 因子。

$E_\gamma(\lambda)$ 是以电子伏特（eV）表示的单光子能量，其数值为：

$$E_\gamma(\lambda)=\frac{hc}{e\lambda}$$

其中，$h$ 为普朗克常数，$c$ 为真空光速，$e$ 为元电荷的大小。$p_m(\lambda)$ 为按波长归一化的光子发射概率密度，满足：

$$\int_{\lambda_{\min}}^{\lambda_{\max}}p_m(\lambda)\,d\lambda=1$$

若输入发射光谱为 $S_m(\lambda)$，则连续形式的光谱权重可表示为：

$$p_m(\lambda)= \frac{S_m(\lambda)/f(\lambda)} {\displaystyle\int_{\lambda_{\min}}^{\lambda_{\max}}S_m(\lambda')/f(\lambda')\,d\lambda'}, \qquad f(\lambda)=\frac{c}{\lambda}$$

式中，$f(\lambda)$ 为光频率，$\lambda'$ 为积分变量。上述积分表达连续光谱下各波长对角度发光结果的贡献；实际数值计算使用离散波长采样。$G(\theta)$ 为模型归一化下的加权结果，不应直接解释为经过绝对辐射度定标的辐亮度。结合 CIE 1931 色匹配函数，还可计算三刺激值（X、Y、Z）及相应的亮度相关结果。

由此可综合分析多层发光器件的光谱与角度特性。