本征模扩展求解器(EME)

本征模扩展求解器基于模式耦合理论，将波导沿传播方向划分为多个横截面区域，并在每个截面上将光场展开为该处本征模式的线性叠加。通过计算相邻截面间本征模式的重叠积分，精确构建局部界面的散射关系；随后，采用高效的级联算法将各局部S矩阵递推组合，最终获得整个系统的全局S参数矩阵。主要物理原理如下：

波导横截面上的电场分布可以表示为本征模式的线性组合：

$$E_t(r_t,z)=\sum_{m} a_m^{+}(z) e_{tm}(r_t)e^{-j\beta_m z} +a_m^{-}(z) e_{tm}(r_t)e^{j\beta_m z}$$

其中：

• $a_m^{+}(z), a_m^{-}(z)$：本征模式 $m$ 的正向和反向的模式扩展系数；
• $e_{tm}(r_t)$：本征模式 $m$ 的横向电场分布；
• $\beta_m$：本征模式 $m$ 的传播常数。
• $z$： 沿传播方向的坐标。

根据麦克斯韦方程的边界条件，可以得到边界上的模场必须满足切向连续，因此

$$e_{tp}^{A}(r_t) + \sum_{n=1}^{N} R_{np} e_{tn}^{A}(r_t)= \sum_{m=1}^{M} T_{mp}e_{tm}^{B}(r_t) \\ h_{tp}^{A}(r_t) - \sum_{n=1}^{N} R_{np} h_{tn}^{A}(r_t)= \sum_{m=1}^{M} T_{mp}h_{tm}^{B}(r_t)$$

其中：

• R 是反射系数矩阵;
• T 是透射系数矩阵;
• $e_{tp}^{A}(r_t), h_{tp}^{A}(r_t)$ 是波导A的第p个本征模的电场和磁场分布;
• $e_{tn}^{A}(r_t), h_{tn}^{A}(r_t)$ 是波导A的第n个本征模的电场和磁场分布;
• $e_{tm}^{B}(r_t), h_{tm}^{B}(r_t)$ 是波导B的第m个本征模的电场和磁场分布。

根据Lorentz互易定理，可以基于功率内积来定义模式之间的重叠积分：

$$\langle e_{tm}, h_{tn}^{*} \rangle =\frac{1}{2} \int e_{tm}(r_t) \times h_{tn}^*(r_t) \cdot \hat{z} dr_t$$

$$\langle e_{tm}, h_{tn}^{*} \rangle = \langle e_{tn}^{*}, h_{tm} \rangle$$

由本征模的正交归一性得到：

$$\int e_{tm}(r_t) \times h_{tn}^*(r_t) \cdot \hat{z} dr_t = N_n\delta_{mn}$$

其中 $N_n$ 是模式 $n$ 的归一化常数。

通过上面2个边界条件方程在功率内积空间的正交投影，可以得到波导A和波导B界面的S矩阵，从而计算出输入/输出模式之间的透射和反射关系：

$$\begin{bmatrix} A_{-} \\ B_{+} \end{bmatrix} = S^{interface}\begin{bmatrix} A_{+} \\ B_{-} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{AB} & T_{BA} \\ T_{AB} & R_{BA} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A_{+} \\ B_{-} \end{bmatrix}$$

其中，$A_{+}=(a_{1}^+, a_{2}^+, ..., a_{M}^+)^T$ 和 $A_{-}=(a_{1}^-, a_{2}^-, ..., a_{M}^-)^T$ 分别表示波导 A 中正向和反向传输本征模的模式系数向量，$B_{+}=(b_{1}^+, b_{2}^+, ..., b_{N}^+)^T$ 和 $B_{-}=(b_{1}^-, b_{2}^-, ..., b_{N}^-)^T$ 分别是波导B正向和反向传输本征模的模式系数向量。

综上所述，通过求解每个界面的S矩阵和相位传输矩阵，我们可以得到每个单元的局部散射关系，然后可以通过级联算法（比如：Redheffer's矩阵星积）将多个单元的S矩阵组合起来，得到整个器件的S矩阵，从而分析器件的传输和反射特性。下面给出第i和第i+1个单元的S矩阵级联公式：

$$S^{i,i+1} = S^{i} \star S^{i+1} \\ S^{device}= S^{1} \star S^{2} \star ... S^{i}\star...\star S^{N}$$

因此，物理端口和内部端口的S矩阵可以通过上述级联算法计算，最终得到整个系统的全局S矩阵(见下图中的user s matrix)。

$$S^{global} = S^{input} \star S^{device} \star S^{output}$$