前言

在非线性光学中，光与介质相互作用产生了非线性极化，光的电场分量 E 与非线性极化强度 P 的关系为：

$\pmb{P}=\varepsilon_0\chi^{(1)}\cdot\pmb{E}+\varepsilon_0\chi^{(2)}\cdot\pmb{E}^2+\varepsilon_0\chi^{(3)}\cdot\pmb{E}^3+\cdot\cdot\cdot$

其中$\chi^{(1)}$、$\chi^{(2)}$、$\chi^{(3)}$分别为介质的线性极化率、二阶非线性极化率、三阶非线性极化率。忽略三阶以及更高阶项，该式即为二阶非线性材料极化强度的表达式。二阶非线性效应在光学倍频、混频、调制等领域应用广泛，在激光器、频率转换等器件当中扮演着重要作用。本案例将利用二阶非线性材料仿真二次谐波的产生。

仿真设置

本案例使用 2D FDTD 进行仿真，平面波光源入射到非线性材料 chi2 中，并在材料后方接收其透射的光谱信息。其结构如下图所示，在 z 方向上使用Periodic边界条件，以得到该方向上无限大的仿真结果。

在材料库当中定义二阶非线性材料 chi2 时，需要设置Base Material和非线性极化系数，未选择基底材料时，默认折射率为 1，具体细节可参考Nonlinear Material。其非线性极化系数应当满足下式

$\chi^{(2)}E<<\chi^{(1)}$

在非线性仿真当中，光源的脉冲形状是非常重要的，本案例在Time Domain当中设置自定义的脉冲信号，如下图所示，同时，增大光源的振幅，以得到更理想的非线性效应。

值得注意的是，仿真当中需要关闭Continuous Wave Normalization功能，开启该功能时，将会利用光源时间脉冲的傅里叶变换对接收到的场进行归一化处理，从而得到系统的频域响应，但该过程仅对线性效应是完全正确的。
在默认非均匀网格下，网格尺寸会根据仿真光源的范围自动计算，但是由于忽略了非线性效应产生的高频分量，会导致网格细化地不够充分。我们使用override bandwidth for mesh generation设置，选择自定义的波长范围（包括非线性产生的短波长）来重新划分网格，使得网格划分能够满足仿真需求。而在TimeMonitor当中，为防止对非线性效应产生的高频分量采样不足导致的频率重叠，应适当增加默认的采样点数。

仿真结果

打开附件，直接运行，在时间监视器当中可以得到经过傅里叶变化的频谱（见下图）。结果表明接收的光谱不仅仅在光源 200THz 附近存在共振峰，在后续 400、600、800THz 处也产生了共振峰，表明光与非线性材料相互作用时，产生了二次谐波。